Выписываться специально не нужно, на госуслугах это называется "Регистрация гражданине по месту жительства", заполняете анкету, через два-три дня приходит уведомление, когда и куда нужно подойти, приходите с паспортом, свидетельством о собственности (и собственником квартиры, если это не вы), отдаете копии, подписываете пару бумаг, ставят штамп и, собственно, все. Выписывают с прошлого места они сами.

Дополню: могут забыть выписать. А в некоторых случаях (например, если продаете) это актуально.
На моей памяти только одного сами выписали, со всеми остальными бегали с конвертиками, да.

Альта А., ого, то есть если забудут, я буду прописана в двух местах?)

nicest thing., есть два варианта.
1. Своими ножками приходите в МФЦ по месту будущей прописки и подаете необходимые документы. Один нюанс: отрывной талон на ваш прежний адрес может идти очень долго и иногда не дойти. Поэтому - да, вы как бы будете прописаны в 2 местах, из-за этого по старой квартире могут возникнуть проблемы (например, при отсутствии счетчиков будут начислять газ/воду так же, как если бы вы там жили фактически).
Чтобы этого избежать: захватите пустой конверт и приложите к пакету доков. Когда будете отдавать все специалисту, просите дубликат отрывного талона (заберете потом вместе с паспортом по истечении 6 рабочих дней). Этот дубликат вместе с выпиской из домовой книги несете в МФЦ по старому адресу и на их основании просите вас выписать.
2. Сначала идете в МФЦ по тому адресу, откуда выписываетесь. В окошке напишете заявление на снятие с регистрации. Когда спустя 6 рабочих дней получите свой паспорт с отметкой о снятии с учета, идете в МФЦ по новому месту жительства и подаете там документы на прописку.